Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung persekutuan dua lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran itu tepat pada satu titik di lingkaran itu.Ada dua macam garis singgung persekutuan yang terjadi  ada dua lingkaran, yaitu Garis Singgung Persekutuan Dalam dan Garis Singgung Persekutuan Luar.

1.Garis singgung persekutuan dalam

2.    Garis Singgung Persekutuan Luar

E

D

C

B

A

F

Perhatikan Gambar berikut. Lingkaran yang berpusat dititik A dan lingkaran yang berpusat di titik B saling lepas. Titik C, D, E dan F adalah titik singgung. Sementara itu, garis CD dan EF adalah garis singgung persekutuan luar, sedangkan ruas garis AB disebut garis sentral, yaitu garis yang menghubungkan pusat lingkaran A dan pusat lingkaran B.

Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran

Perhatikan Gambar berikut ini, AB merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran yang berpusat di P dan Q.

Dari Gambar di atas diperoleh:

Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan di Q.

R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama dan

r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

 PS = AS + AP  = BQ + AP = r + R = R + r.

d  adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB.

k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang

SQ = panjang AB = d.

Oleh karena SQ sejajar AB maka ∠ PSQ = ∠ PAB = 90°.

Sekarang perhatikan ΔPSQ.

Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan ∠ PSQ = 90°

maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.

PQ² = PS² + SQ²

SQ² = PQ² – PS²

d² = k² – (R + r)²

d =√ k²-(R+r)²

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah

d  =

dengan:

d = panjang garis singgung persekutuan dalam

k = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

Contoh

1. Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang  garis singgung pers ekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm.

   Penyelesaian

   Diketahui k = 30 cm

   R = 14 cm

   r = 4 cm 

  Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya  adalah 24 cm

2. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm. tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.

   Jawab :

Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 15 cm maka d = 15 cm.

Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm.

Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran adalah 3 cm maka R = 3 cm.

      

     

    15 = 17² – (3 + r)²

    225 = 289 – (3 + r)²

     (3 + r)²= 289 – 225

     (3 + r)² = 64

     3 + r = 8

           r = 8 – 3

           r = 5

  Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm

Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Perhatikan Gambar berikut ini, AB merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran yang berpusat di P dan Q.

Dari Gambar di atas diperoleh:

Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang

berpusat di P dan Q.

R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama.

r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua.

d  adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB.

p adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.

SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = d.

Panjang SP = AP – BQ = R – r.

AB sejajar SQ sehingga ∠ BAP = ∠ QSP = 90° (sehadap)

maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.

ΔSPQ siku-siku di S sehingga

PQ² = SQ² + SP²

SQ² = PQ² – SP²

d² = p² – (R – r) ; R > r

d = p²– (R–r)²

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah:

dengan: d = panjang garis singgung persekutuan luar

p = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

Contoh  Soal

1   3. Pada gambar di samping, AB adalah garis g singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.Hitunglah panjang AB.

Jawab :

Dari gambar diperoleh:

jarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm,

panjang jari-jari lingkaran pertama, R = 25 cm,

panjang jari-jari lingkaran kedua, r = 17 cm,

panjang garis singgung persekutuan luar

 

Jadi, panjang garis singgung l adalah 15 cm

2.     4. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua   titik  pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 12 cm. tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.

Jawab :

Panjang garis singgung persekutuan luar adalah 15 cm maka d = 15 cm.

Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm.

Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran adalah 12 cm maka R = 12 cm.

      

     

    15 = 17² – (12 - r)²

    225 = 289 – (12 -  r)²

     (12 - r)²= 289 – 225

     (12 - r)² = 64

    (12 - r) =

     12 -  r = 8

      12  - 8 =  r

           r =  12 – 8

          r  =  4

      Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 4 cm

5. Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran adalah 8 cm, jika jari-jari kedua lingkaran masing-masing 14 dan 8 cm. Tentukan jarak kedua pusat lingkaran

    Jawab :

    Diketahui

    Panjang garis singgung persekutuan luar adalah 8 cm maka d = 8 cm.

    Panjang jari-jari (R) satu lingkaran adalah 14 cm dan 8 cm.

    Dit : jarak titik pusat kedua lingkaaran

      

     

    8² = p² – (14 - 8)²

    8² = p² – (6)²

     8² + 6² = p²

     p² = 64 + 36

     p² = 100

      p  = 

           p =  10

      Jadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah 10 cm